Question

【题目】【选修4-4：坐标系与参数方程】

极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两神坐标系中的长度单位相同．已知曲线的极坐标方程为， ．

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）在曲线上求一点，使它到直线： （为参数）的距离最短，写出点的直角坐标．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用极坐标方程和直角坐标方程的互化公式进行求解；（Ⅱ）消参得到直线的直角坐标方程，确定最优解，利用直线的斜率公式和两条直线垂直进行求解.

试题解析:（Ⅰ）由， ，可得

∴曲线的直角坐标方程为

（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数），消去得的普通方程为， 与相离，设点，且点到直线： 的距离最短，

则曲线在点处的切线与直线： 平行，

∴，又

∴（舍）或，∴

∴点的坐标为.