Question

【题目】如图所示，三棱柱中，已知侧面.

（1）求证： 平面；

（2）是棱长上的一点，若二面角的正弦值为，求的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥BC1，在△CBC1中，由余弦定理求解B1C，然后证明BC⊥BC1，利用直线与平面垂直的判定定理证明C1B⊥平面ABC．

（Ⅱ）通过AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面AB1E的一个法向量，平面的一个法向量通过向量的数量积，推出λ的方程，求解即可．

试题解析： 证明：因为平面， 平面，所以，

在中， ， ， ，

由余弦定理得： ，

故，所以，

又，∴平面.

由可以知道， ， ，两两垂直，以为原点， ， ，所在直线为， ， 轴建立空间直角坐标系.

则， ， ， ， ， ， .

令，∴， .

设平面的一个法向量为，

，

令，则， ，

∴，

平面，∴是平面的一个法向量，

，两边平方并化简得，所以或.

∴或.