Question

过点P（2，-2）和曲线y=3x-x³相切的直线方程为______．

Answer 1

设直线l：y+2=k（x-2）．∵y′=3-3x²，∴y′|_x=2=-9，
又∵直线与曲线均过点（2，-2），于是直线y+2=k（x-2）与曲线y=3x-x³相切于切点（2，-2）时，k=-9．
若直线与曲线切于点（x₀，y₀）（x₀≠2），则k=

y0+2

x0-2

，∵y₀=3x₀-x₀³，
∴

y0+2

x0-2

=-x₀²-2x₀-1，
又∵k=y′|x=x₀=3-3x₀²，
∴-x₀²-2x₀-1=3-3x₀²，∴2x₀²-2x₀-4=0，
∵x₀≠2，∴x₀=-1，∴k=3-3x₀²=0，
故直线l的方程为9x+y-16=0或y=-2．
故答案为：9x+y-16=0或y=-2．