Question

【题目】已知是满足下列性质的所有函数组成的集合：对任何（其中为函数的定义域），均有成立.

（1）已知函数，，判断与集合的关系，并说明理由；

（2）是否存在实数，使得，属于集合？若存在，求的取值范围，若不存在，请说明理由；

（3）对于实数、 ，用表示集合中定义域为区间的函数的集合.

定义：已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”，其中常数称为的“绝对差上界”，的最小值称为的“绝对差上确界”，符号；求证：集合中的函数是“绝对差有界函数”，并求的“绝对差上确界”.

Answer 1

【答案】（1）属于集合；（2）；（3）略.

【解析】

（1）利用已知条件，通过任取，证明成立，说明f（x）属于集合M．（2）若p（x）∈M，则有，然后可求出当时，p（x）∈M．（3）直接利用新定义加以证明，并求出h（x）的“绝对差上确界”T的值．

（1）设，

则，

∵，

∴，

∴

∴，

∴函数属于集合．

（2）若函数，属于集合，

则当时，恒成立，

即对恒成立，

∴对恒成立．

∵，

∴，

∴，解得，

∴存在实数，使得，属于集合，且实数的取值范围为．

（3）取，

则对区间的任意划分：

，

和式

，

∴集合中的函数是“绝对差有界函数”，且的“绝对差上确界”．