Question

【题目】已知正项等比数列的前项和为，且，。数列的前项和为，且。

(1)求数列的通项公式及其前项和；

(2)证明数列为等差数列，并求出的通项公式；

(3)设数列，问是否存在正整数 ，使得成等差数列，若存在，求出所有满足要求的；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）存在正整数 ，使得成等差数列。理由见解析。

【解析】

(1)利用等比数列基本量运算即可得到数列的通项公式及其前项和；(2)由 得到 ，进而求得 ，利用等差数列定义证明即可；(3) 因为，所以，利用反证法即可证明.

(1)设正项等比数列的公比为，则由得，从而，又由得，因此，，

所以，。

(2)方法一：因为，所以，

从而数列是以为首项，为公差的等差数列，故，

故，

当时，，且时适合，因此，，

从而当时，为常数，所以，数列为等差数列。

方法二：因为，

所以，当时，有，

两式相减得：，即，

故，即，

又由得，从而，故，

所以，数列为等差数列。

(3)因为，

所以，

假设存在存在正整数 ，使得成等差数列，则

，即，

令，则原问题等价于存在正整数，使得，即成立。

因为(因为)，故数列单调递增，

若，即，则，

从而，即，而，

因此，，这与恒成立矛盾，故只能有，即，

从而，故，即， (*)

①若为奇数，，则记，从而，

因为数列单调递增，所以数列单调递减，故当时，，而，故，因此，(*)式无正整数解。

②若为偶数，则记，即，同理可得(*)无正整数解。

综上，不存在存在正整数，使得成等差数列，也即不存在正整数 ，使得成等差数列。