Question

【题目】某海警基地码头的正西方向海里处有海礁界碑，过点且与成角(即北偏东)的直线为此处的一段领海与公海的分界线(如图所示)。在码头的正西方向且距离点海里的领海海面处有一艘可疑船停留，基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从处即刻出发。若巡逻艇以可疑船的航速的倍前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在点处截获可疑船。

(1)若可疑船的航速为海里小时，，且可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑，求巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间。

(2)若要确保在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船，求的最小值。

Answer 1

【答案】（1）小时；（2）。

【解析】

(1) 设，则，利用余弦定理求出a值，进而得到巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间；

（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，可疑船被截获的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，利用直线与圆的位置关系得到结果.

(1)因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的2倍，可疑船的航速为海里/小时，所以巡逻艇的航速为海里/小时，且，设，则，

又可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑，所以，

在中，有，

即，故，解得(负值舍去)

所以小时。

(2)以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，

因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的倍，所以，

故，即

故可疑船被截获的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，

又直线的方程为，即，

要确保在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船，则：

圆心在直线下方，且的轨迹与直线至多只有一个公共点，

所以且

即，解得，

故要确保在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船，则。