Question

【题目】如图，在四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形， ， ， ， 为的中点，点在线段上.

(Ⅰ)求证： ；

(Ⅱ)试确定点的位置，使得直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等.

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）.

【解析】试题分析：

(1)利用题意证得平面，然后利用线面垂直的定义得

(2)建立空间直角坐标系， ,利用题意得到关于的方程，求解方程即可求得.

试题解析：

（Ⅰ）证明：在平行四边形中，连接，因为， ， ，

由余弦定理得，得，

所以，即，又，

所以，

又， ，所以， ，

所以平面，所以．

（Ⅱ）侧面底面， ，所以底面，所以直线两两互相垂直，以为原点，直线为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 ，所以， ， ，

设，

则， ，

所以，

易得平面的法向量．

设平面的法向量为，

由， ，

得，令，得．

因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，

所以，即，所以，

即，解得，所以．