Question

设f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

（n∈N^*）．
求证：f（1）+f（2）+…+f（n-1）=n•[f（n）-1]（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析：首先检验当n=2时，等式两边成立，再假设当n=k时，等式两边成立，写出此时的等式，准备后面要用，再检验当n=k+1时，等式成立，使用n=k时的条件，整理出结果，最后总结对于所有的不小于2的自然数结论都成立．

解答：证明：当n=2时，左边=f（1）=1，
右边=2[1+

1

2

-1]=1，左边=右边，等式成立．
假设n=k时，结论成立，即f（1）+f（2）+…+f（k-1）=k[f（k）-1]，
那么，当n=k+1时，
f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）=k[f（k）-1]+f（k）=（k+1）f（k）-k
=（k+1）[f（k+1）-

1

k+1

]-k
=（k+1）f（k+1）-（k+1）
=（k+1）[f（k+1）-1]，
∴当n=k+1时结论仍然成立．
∴f（1）+f（2）+…+f（n-1）=n[f（n）-1]（n≥2，n∈N^*）

点评：本题考查数学归纳法，在证明和自然数有关的等式或不等式时，一般应用数学归纳法，实际上这种问题证明是有一个固定的模式可以套用，这是注意在由n=k变化为n=k+1时，千万要用n=k的结论．