【题目】给正有理数
、
（
，
，
，且
和
不同时成立），按以下规则
排列：① 若
，则排在前面；② 若
，且
，则排在的前面，按此规则排列得到数列
.
（例如：
）.
（1）依次写出数列的前10项；
（2）对数列中小于1的各项，按以下规则
排列：①各项不做化简运算；②分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列
，求数列的前10项的和
，前2019项的和
；
（3）对数列中所有整数项，由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合
，
的子集
满足：对任意的
，有
，求集合中元素个数的最大值.
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）1010.
【解析】
（1）依题意，数列{an}的前10项为：
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）按规则Q排列后得：{，，，
，
，
，
，
，
，
，…}，求前2019项的和S2019时，先确定最后一个分数的值，令2019＝1+2+3+…+n即
2019，进而求解；
（3）A＝{1，2，3，…，2019}，B＝{2019，2018，2107，2016，…，1010}共1010项，进而求解；
（1）依题意，数列{an}的前10项为：，，，，，，，，，；
（2）依题意按规则Q排列后得：{，，，，，，，，，，…}，
∴前10项和为：S10
5；
求前2019项的和S2019时，先确定最后一个分数的值，令2019＝1+2+3+…+n即2019，∴n∈（63，64），
数列分母取遍2至64时，共有
2016项，所有分母为65的还有3项，即：
，
，
，
∴数列{bn}前2019项为：{，，，，，，，，，，
，
，，，}，
当n∈[2，64]时，对分母为n的小段求和：S
，
∴当n∈[2，64]时，对63个小段相加求和：S′
1008，
S2019＝S′
1008
，
（3）依题意：A＝{1，2，3，…，2019}，B＝{2019，2018，2107，2016，…，1010}共1010项，这种情况B中的元素最多．
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【题目】已知函数
满足
,且
,
分别是定义在
上的偶函数和奇函数．
（1）求函数的反函数;
（2）已知
,若函数
在
上满足
,求实数a的取值范围;
（3）若对于任意
不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】正整数数列
满足
（p，q为常数），其中
为数列的前n项和．
(1)若
，
，求证：是等差数列；
(2)若数列为等差数列，求p的值；
(3)证明：
的充要条件是
．
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【题目】甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为
、
、
，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响.
（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；
（Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为
，求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】有限个元素组成的集合为
，
，集合
中的元素个数记为
，定义
，集合
的个数记为
，当
，称集合具有性质
.
（1）设集合
具有性质，判断集合
中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由；
（2） 设正数列
的前
项和为
，满足
，其中
，数列中的前
项：
组成的集合
记作
，将集合
中的所有元素
从小到大排序，即
满足
，求
；
（3） 己知集合
，其中数列
是等比数列，
，且公比是有理数，判断集合
是否具有性质，说明理由.
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【题目】若函数y=f（x）对定义域的每一个值x1，在其定义域均存在唯一的x2，满足f（x1）f（x2）=1，则称该函数为“依赖函数”．
（1）判断
，y=2x是否为“依赖函数”；
（2）若函数y=a+sinx（a＞1），
为依赖函数，求a的值，并给出证明．
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