Question

【题目】如图，在梯形中，，平面平面，四边形是菱形，.

（1）求证：；

（2）求二面角的平面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）利用勾股定理证得，由此根据面面垂直的性质定理证得平面，从而证得,根据菱形的性质证得，由此证得平面，进而证得.（2）取的中点，连接，证得两两垂直，由此建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，进而求得其正切值.

(1)依题意，在等腰梯形中，，，

∵，∴即，

∵平面平面,平面,

而平面，∴．

连接，∵四边形是菱形，∴，

∴平面, 平面，∴．

(2)取的中点，连接，因为四边形是菱形，且．

所以由平面几何易知，

∵平面平面，∴平面．

故此可以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系

各点的坐标依次为：，，，，，．设平面和平面的法向量分别为，，

∵，．

∴由 ，令，则，

同理，求得．

∴，故二面角的平面角的正切值为．