Question

已知直线l：4x+3y-8=0（a∈R）过圆C：x²+y²-ax=0的圆心交圆C于A、B两点，O为坐标原点．
（I）求圆C的方程；
（II） 求圆C在点P（1，

3

）处的切线方程；
（III）求△OAB的面积．

Answer 1

分析：（I）圆C：x²+y²-ax=0的圆心为（

a

2

，0），将圆心坐标代入4x+3y-8=0即可求得a，从而可得圆C的方程；
（II）将点P（1，

3

）的坐标代入x²+y²-4x=0成立，即点P（1，

3

）在x²+y²-4x=0上，设过点P（1，

3

）的切线l₁的斜率为k，利用k_PC•k=-1可求得k，从而可得切线l₁的方程；
 （III）由题意可知，|AB|为圆x²+y²-4x=0的直径，其长度为4，利用点到直线的距离公式可求得原点（0，0）到直线l：4x+3y-8=0的距离，从而可求△OAB的面积．

解答：解：（I）∵圆C：x²+y²-ax=0的圆心为（

a

2

，0）…（1分）
直线l：4x+3y-8=0过圆C的圆心，
∴4×

a

2

+3×0-8=0，
∴a=4…（3分）
∴圆C的方程为：x²+y²-4x=0…（4分）
（II）∵点P（1，

3

）在x²+y²-4x=0上，且圆心为（2，0）…（5分）
∴设过点P（1，

3

）的切线l₁的斜率为k，过P、C两点的
直线的斜率为k_PC，则                                             …（6分）
k_PC=

3 -0

1-2

=-

3

…（7分）
∵PC⊥l₁
∴k_PC•k=-1，故k=

3

3

…（8分）
∴切线l₁的方程为y-

3

=

3

3

（x-1），即x-

3

y+2=0…（9分）
（III）∵圆C：x²+y²-4x=0的半径为2，…（10分）
∴|BC|=2r=4…（11分）
点O（0，0）到直线l：4x+3y-8=0的距离为d=

|0+0-8|

42+32

=

8

5

…（12分）
∴S_△OAB=

1

2

|BC|•d=

1

2

×4×

8

5

=

16

5

…（13分）

点评：本题考查圆的一般方程，考查求圆的切线方程及点到直线的距离公式的应用，突出转化与方程思想的运用，属于中档题．