=x2,C上点A.An的横坐标分别为1和an(n∈N*),且a1=5,xn+1=af(xn-1)+1(a＞0,a≠,a≠1).记区间Dn=［1,an］(an＞1).当x∈Dn时,曲线C上存在点Pn(xn,f(xn)),使得点Pn处的切线与直线AAn平行.(1)试判断:数列{loga(xn-1)+1}是什么数列;(2)当DnDn+1对一切n∈N*恒成立时,求实数a的取值范围;(3)记数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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(理)已知曲线C:f(x)=x²,C上点A、A_n的横坐标分别为1和a_n(n∈N^*),且a₁=5,x_n+1=af(x_n-1)+1(a＞0,a≠,a≠1).记区间D_n=［1,a_n］(a_n＞1).当x∈D_n时,曲线C上存在点P_n(x_n,f(x_n)),使得点P_n处的切线与直线AA_n平行.

(1)试判断:数列{log_a(x_n-1)+1}是什么数列;

(2)当D_nD_n+1对一切n∈N^*恒成立时,求实数a的取值范围;

(3)记数列{a_n}的前n项和为S_n,当a=时,试比较S_n与n+7的大小,并说明你的结论.

(文)已知f(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)是定义在R上的函数,其图象交x轴于A、B、C三点.若点B的坐标为(2,0),且f(x)在［-1,0］和［4,5］上有相同的单调性,在［0,2］和［4,5］上有相反的单调性.

(1)求c的值.

(2)在函数f(x)的图象上是否存在一点M(x₀,y₀),使得f(x)在点M处的切线斜率为3b?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)求|AC|的取值范围.

答案：(理)解:(1)是等比数列.2分由点P_n处的切线与直线AA_n平行可知,x_n=.

由x_n+1=af(x_n-1)+1(a＞0,a≠,a≠1)可知x_n+1-1=a(x_n-1)²,则log_a(x_n+1-1)=2log_a(x_n-1)+1.设b_n=log_a(x_n-1),则b_n+1+1=2(b_n+1).又b₁=log_a(x₁-1)=log_a2,因此数列{b_n+1}是以b₁+1为首项,2为公比的等比数列,即{log_a(x_n-1)+1}是等比数列.

则b_n+1=(log_a2+1)·2^n-1,即b_n=(log_a2+1)·2^n-1-1=log_a,∴x_n=1+.

(2)由条件x_n=可知a_n=1+.由D_nD_n+1知a_n＞a_n+1,即［1-］＞0,则［1-］＞0,即0＜a＜.

(3)数列{a_n}的前n项和S_n,当a=时,a_n=1+=1+8.

S_n=n+8［+()²+()⁴+…+］.可以证明:当n≥4,有2^n-1＞n+1;∴当n≤3时,S_n≤n+8［+()²+()⁴］=n+＜n+7;

当n≥4时,S_n＜n+8［+()²+()⁴+()⁵+()⁶+…+()ⁿ⁺¹］=n+7-()^n-2＜n+7,则S_n＜n+7.

(文)解：(1)∵f(x)在［-1,0］和［0,2］上有相反的单调性,∴x=0是f(x)的一个极值点.故f′(0)=0,2分即3ax²+2bx+c=0有一个解x=0,则c=0.

(2)∵f(x)交x轴于点B(2,0),∴8a+4b+d=0,即d=-4(b+2a).令f′(x)=0得3ax²+2bx=0,x₁=0,x₂=.

∵f(x)在［0,2］和［4,5］上有相反的单调性,∴∴-6≤≤-3.

假设存在点M(x₀,y₀),使得f(x)在点M处的切线斜率为3b,则f′(x₀)=3b,即3ax₀²+2bx₀-3b=0.

∵Δ=(2b)²-4×3a×(-3b)=4b²+36ab=4ab(+9),而-6≤≤-3,∴Δ＜0.故不存在点M(x₀,y₀),使得f(x)在点M处的切线斜率为3b.

(3)设A(α,0),C(β,0),依题意可令f(x)=a(x-α)(x-2)(x-β)=a［x³-(2+α+β)x²+(2α+2β+αβ)x-2αβ］,

则即∴|AC|=|α-β|=

==.〔∵d=-4(b+2a)〕∵-6≤≤-3,∴当=-6时,|AC|_max=;当=-3时,|AC|_min=3.故3≤|AC|≤.

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