Question

若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为    ．

Answer 1

【答案】分析：设正三棱柱底面正三角形的边长为a，当球外切于正三棱柱时，球的半径R₁等于正三棱柱的底面正三角形的边心距，求出正三棱柱的高为，当正三棱柱外接球时，球的球心是正三棱柱高的中点，且球的圆心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，求出外接球的半径，即可求出内切球与外接球表面积之比．
解答：解：设正三棱柱底面正三角形的边长为a，
当球外切于正三棱柱时，球的半径R₁等于正三棱柱的底面正三角形的边心距 ，R₁²=，
故正三棱柱的高为 ，
当正三棱柱外接球时，球的圆心是正三棱柱高的中点，且球的球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，=，
∴内切球与外接球表面积之比为=1：8．
故答案为：8：1
点评：本题是基础题，考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，是常考题型，求内切球与外接球的半径是本题的关键．