Question

某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：

	信息技术	生物	化学	物理	数学
周一	1 4	1 4	1 4	1 4	1 2
周三	1 2	1 2	1 2	1 2	2 3
周五	1 3	1 3	1 3	1 3	2 3

根据上表：
（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；
（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）由题意设数学辅导讲座在周一，周三，周五都不满座位事件A，则有独立事件同时发生的概率公式即可求得；
（2）由于题意可以知道随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，4，5，利用随见变量的定义及相应的事件的概率公式即可求得随机变量每一个值下的概率，并列出其分布列，再有期望定义求解．

解答：解：（1）设数学辅导讲座在周一，周三，周五都不满座位事件A，
则P（A）=（1-

1

2

)(1-

2

3

)(1-

2

3

)=

1

18

(1-

2

3

)(1-

2

3

)=

1

18

，
（2）由题意随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，4，5，
P（ξ=0）=(1-

1

2

)4(1-

2

3

)=

1

48

，
P（ξ=1）=

C

1 4

• 

1

2

 •(1-

1

2

)3•(1-

2

3

)+(1-

1

2

)4•

2

3

=

1

8

，
P（ξ=2）=

C

2 4

(

1

2

)2(

1

2

)2(1-

2

3

)+

C

1 4

•

1

2

•(1-

1

2

)3•

2

3

=

7

24

，
P（ξ=3）=

C

3 4

(

1

2

)3(1-

1

2

)•(1-

2

3

)+

C

2 4

(

1

2

)2•(1-

1

2

)2•

2

3

=

1

3

，
P（ξ=4）=(

1

2

)4•(1-

2

3

)+

C

3 4

(

1

2

)3•(1-

1

2

)•

2

3

=

3

16

，
P （ξ=5）=(

1

2

)4•

2

3

=

1

24

，
所以随机变量的分布列为：

故Eξ=0×

1

48

+1×

1

8

+2×

7

24

+3×

1

3

+4×

3

16

+5×

1

24

=

8

3

．

点评：此题属于中档题型，重在理解题意并分型事件的类型用准概率公式，考查了随机变量的定义及其分布列，还考查了随机变量的期望公式及计算能力．