Question

如图△ABC内接于圆O，G，H分别是AE，BC的中点，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．证明：
（1）GH∥平面ACD；
（2）平面ACD⊥平面ADE．

Answer 1

分析：（1）取AD中点M，连接MG、MC．利用三角形中位线定理和平行四边形的性质，证出MG

∥

=CH，可得四边形CMGH为平行四边形，得到GH∥MC，利用线面平行的判定定理即可证出GH∥平面ACD；
（2）根据直径所对的圆周角为直角，得到CB⊥AC．由DC⊥平面ABC得到DC⊥CB，从而证出CB⊥平面ACD，结合DE∥BC得DE⊥平面ACD，最后利用面面垂直判定定理即可证出平面ACD⊥平面ADE．

解答：解：（1）取AD中点M，连接MG、MC
∵MG是△ADE的中位线，∴MG

∥

.

1

2

DE
又∵平行四边形BCDE中，CH

∥

.

1

2

DE，
∴MG

∥

=CH，可得四边形CMGH为平行四边形，可得GH∥MC
又∵MC?平面ACD，GH?平面ACD，
∴GH∥平面ACD   …（6分）
（2）∵AB是圆的直径，∴CB⊥AC
又∵DC⊥平面ABC，CB?平面ABC，∴DC⊥CB，
∵AC、CD是平面ACD内的直线，∴CB⊥平面ACD，
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，
又∵DE?平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE   …（12分）

点评：本题给出多面体的底面为圆内接三角形ABC，在AB为直径的情况下求证线面平行和面面垂直．着重考查了线面平行判定定理和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．