Question

【题目】四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BCD=60°，PA=PD= ，E是BC中点，点Q在侧棱PC上．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）若Q是PC中点，求二面角E﹣DQ﹣C的余弦值；
（3）若 ，当PA∥平面DEQ时，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AD中点O，连接OP，OB，BD．

因为PA=PD，所以PO⊥AD．

因为菱形ABCD中，∠BCD=60°，所以AB=BD，所以BO⊥AD．

因为BO∩PO=O，所以AD⊥平面POB，所以AD⊥PB．

（2）解：由（1）知BO⊥AD，PO⊥AD．

因为侧面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，所以PO⊥底面ABCD．

以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．

则D（﹣1，0，0）， ，P（0，0，1）， ，

因为Q为PC中点，所以 ．

所以 ， ，所以平面DEQ的法向量为 ．

因为 ， ，

设平面DQC的法向量为 ，则 ，∴

令 ，则y=1， ，即 ． ．

由图可知，二面角E﹣DQ﹣C为锐角，所以余弦值为 ．

（3）解：因为 ，所以 ，

由（2）知 ， ，

若设Q（x，y，z），则 ，

由 ，得 ，

在平面DEQ中， ， ，

所以平面DEQ法向量为 ，

又因为PA∥平面DEQ，所以 ，

即（1﹣λ）+（﹣1）（2λ﹣1）=0，得 ．

所以，当 时，PA∥平面DEQ．

【解析】（1）证明AD⊥平面POB，即可证明AD⊥PB；（2）证明PO⊥底面ABCD，建立空间直角坐标系，求出平面DEQ的法向量为 ，平面DQC的法向量 ，利用向量的夹角公式，即可求得结论；（3）求出平面DEQ法向量为 ，利用PA∥平面DEQ，即 ，从而可得结论．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的性质，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；垂直于同一个平面的两条直线平行即可以解答此题．