Question

【题目】已知函数。

（1）若f（x）的图象与g（x）的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求b和c的值。

（2）若a＝c＝1，b＝0，试比较f（x）与g（x）的大小，并说明理由；

（3）若b＝c＝0，证明：对任意给定的正数a，总存在正数m，使得当x时，

恒有f（x）＞g（x）成立。

Answer 1

【答案】（1）（2）当时, ；当时, ；当时, ．（3）详见解析

【解析】试题分析：（1）由题意得， ，即（2）构造函数则.当时， ， ，

当时，设，则，当时, 取得极小值, 且极小值为，故在上单调递增, ， （3）构造函数，则，故在上有最小值， ，①若，存在，使当时,恒有；若，存在，使当时,恒有；③若，存在，使当时,恒有；

试题解析：（1）解: ， ， ， ， ， 2分

依题意： ，所以 ； 4分

（2）解: ， 时， ， 5分

①时， ， ，即

②时， ， ，即

③时，令,则.

设，则，

当时, 单调递减;当时, 单调递增.

所以当时, 取得极小值, 且极小值为

即恒成立，故在上单调递增,又,

因此,当时, ,即. 9分

综上，当时, ；当时, ；当时, ． 10分

（3）

证法一：①若，由（2）知，当时, .即，

所以， 时，取，即有当，恒有.

②若, 即，等价于即

令,则.当时, 在内单调递增.

取,则，所以在内单调递增.

又

即存在,当时，恒有. 15分

综上，对任意给定的正数，总存在正数，使得当，恒有. 16分

证法二：设，则，

当时， ， 单调减，当时， ， 单调增，

故在上有最小值， ， 12分

①若，则在上恒成立，

即当时，存在，使当时,恒有；

②若，存在，使当时,恒有；

③若，同证明一的②， 15分

综上可得，对任意给定的正数，总存在,当时,恒有. 16分