Question

【题目】已知为实常数，函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） 在上是增函数，在上是减函数；

（Ⅱ） 的取值范围是

【解析】

试题分析：

（1）求出函数的定义域后对函数进行求导，通过讨论导函数的符号，即可得出函数的单调性.（2）在（1）的基础上知，函数有两个不同的零点的必要条件是a＞0且（）=ln＞0，解得0＜a＜1.为求充分条件，通过分析后取x=（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，由函数零点存在定理知在（，）存在一个零点. 再取x=，通过分析后（）＜0，易知存在x∈（，），使得（x）=0，所以可知0＜a＜1时函数有两个不同的零点.

试题解析：

解：（Ⅰ）（x） =lnx+1﹣ax，

函数（x）的定义域为（0，+∞），其导数′（x）=．

①当a≤0时，′（x）＞0，函数（x）在（0，+∞）上是增函数；

②当a＞0时，′（x）＞00＜x＜；′（x）＜0x＞．

所以函数（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当a≤0时，函数（x）在（0，+∞）上是增函数，不可能有两个零点；

当a＞0时，函数（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，

此时（）为函数g（x）的最大值，

若（）≤0，则函数（x）最多有一个零点，不合题意，

所以（）=ln＞0，解得0＜a＜1．

因为，＜1＜＜，取（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，

则x1∈（，），使得（x1）=0；

取（）=2﹣2lna﹣（0＜a＜1），

令F（a）=2﹣2lna﹣（0＜a＜1），则F′（a）=﹣+=＞0，（0＜a＜1），

所以F（a）在（0，1）上单调递增．

所以F（a）＜F（1）=2﹣e＜0，即（）＜0，则x2∈（，），使得（x2）=0，

故函数（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），且x1，x2∈（，）．

综上a的取值范围是（0，1）．