Question

【题目】已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为,为坐标原点．

(Ⅰ)求的轨迹方程；

(Ⅱ)当（不重合）时，求的方程及的面积．

Answer 1

【答案】（I）；（II）(或) ，

【解析】

（Ⅰ）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；

（Ⅱ）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|＝|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．

（I）圆C的方程可化为，∴圆心为，半径为4，设，

∴由题设知 ，即.由于点在圆的内部，所以的轨迹方程是.

（II）由（I）可知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.

由于，故在线段的垂直平分线上，又在圆上，从而.

∵的斜率为3 ∴的方程为.(或).又，到的距离为，，∴的面积为