Question

【题目】已知圆柱OO1底面半径为1，高为π，ABCD是圆柱的一个轴截面.动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示.将轴截面ABCD绕着轴OO1逆时针旋转θ（0＜θ＜π）后，边B1C1与曲线Γ相交于点P.

（1）求曲线Γ长度；

（2）当时，求点C1到平面APB的距离；

（3）是否存在θ，使得二面角D﹣AB﹣P的大小为？若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）π；（2）；（3）不存在，理由见解析

【解析】

（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线Γ就是对角线BD，从而可求曲线Γ长度；
（2）当θ时，点B1恰好为AB的中点，所以P为B1C1中点，故点C1到平面APB的距离与点B1到平面APB的距离相等.
（3）由于二面角D﹣AB﹣B1为直二面角，故只要考查二面角P﹣AB﹣B1是否为即可.

解：（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线Γ就是对角线BD.

由于AB＝πr＝π，AD＝π，所以这实际上是一个正方形.

所以曲线Γ的长度为BDπ.

（2）当θ时，点B1恰好为AB的中点，所以P为B1C1中点，

故点C1到平面APB的距离与点B1到平面APB的距离相等.

连接AP、BP，OP.

由AB⊥B1P且AB⊥A1B1知：AB⊥平面A1B1P，从而平面A1B1P⊥平面APB.

作B1H⊥OP于H，则B1H⊥平面APB，所以B1H即为点B1到平面APB的距离.

在Rt△OB1P中，

由（1）可知，圆柱的一半展开后得到一个正方形，所以

所以.

于是：.

所以，点C1到平面APB的距离为.

（3）由于二面角D﹣AB﹣B1为直二面角，故只要考查二面角P﹣AB﹣B1是否为即可.

过B1作B1Q⊥AB于Q，连接PQ.

由于B1Q⊥AB，B1P⊥AB，所以AB⊥平面B1PQ，所以AB⊥PQ.

于是∠PQB1即为二面角P﹣AB﹣B1的平面角.

在Rt△PB1Q中，.

由（2）有

若，则需B1P＝B1Q，即sinθ＝θ.

令f（x）＝sinx﹣x（0＜x＜π），则f′（x）＝cosx﹣1＜0，

故f（x）在（0，π）单调递减.

所以f（x）＜f（0）＝0，即sinx＜x在（0，π）上恒成立.

故不存在θ∈（0，π），使sinθ＝θ.

也就是说，不存在θ∈（0，π），使二面角D﹣AB﹣P为.