分析 (Ⅰ)作AE、DF垂直于BC,垂足分别为E、F,由和差角的三角函数可得sin∠ABD的值,由2S△ABD=S△ABC可得BC的方程,解方程可得;
(Ⅱ)由余弦定理可得AC的值,再由余弦定理可得cosA,由同角三角函数基本关系可得sinA.
解答 解:(Ⅰ)作AE、DF垂直于BC,垂足分别为E、F,
由题意可得sin∠ABC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ABC}$=$\sqrt{1-(\frac{1}{4})^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$,
∴AE=ABsin∠ABC=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$,由中位线可得DF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{3\sqrt{15}}{8}$,
∴sin∠DBC=$\frac{DF}{BD}$$\frac{3\sqrt{15}}{16}$,cos∠DBC=$\sqrt{1-(\frac{3\sqrt{15}}{16})^{2}}$=$\frac{11}{16}$,
∴sin∠ABD=sin(∠ABC-∠DBC)=$\frac{\sqrt{15}}{4}×\frac{11}{6}$-$\frac{1}{4}×\frac{3\sqrt{15}}{16}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$,
∵D为AC的中点,∴2S△ABD=S△ABC,
∴2×$\frac{1}{2}$AB•BD•sin∠ABD=$\frac{1}{2}$AB•BC•sin∠ABC,
∴2×$\frac{1}{2}$×3×2×$\frac{\sqrt{15}}{8}$=$\frac{1}{2}$×3×BC×$\frac{\sqrt{15}}{4}$,
解得BC=2;
(Ⅱ)由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos∠ABC
=9+4-2×3×2×$\frac{1}{4}$=10,∴AC=$\sqrt{10}$,
∴由余弦定理可得cosA=$\frac{{3}^{2}+(\sqrt{10})^{2}-{2}^{2}}{2×3×\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$,
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$.
点评 本题考查解三角形,涉及三角形的面积公式和余弦定理的应用,属中档题.
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A. | $\frac{1}{2}+\frac{i}{2}$ | B. | $\frac{1}{2}-\frac{i}{2}$ | C. | 1+i | D. | 1-i |
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A. | $f(x)=2sin(2x+\frac{π}{3})$ | B. | $f(x)=2sin(2x-\frac{π}{3})$ | C. | $f(x)=2sin(2x+\frac{π}{6})$ | D. | $f(x)=2sin(2x-\frac{π}{6})$ |
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