Question

已知[（m-1）x+1）]（x-1）＞0，其中0＜m＜2，
（1）解不等式．
（2）若x＞1时，不等式恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

分析：（1）由于不等式的解集与方程的根有关，而0＜m＜2，从而需对m进行讨论：当m-1=0时，为一次不等式；当m-1＞0时，解集在两根之外；当m-1＜0时，解集在两根之间．
（2）x＞1时，原命题化为（m-1）x+1＞0恒成立，分离参数可解．

解答：解：（1）[（m-1）x+1）]（x-1）＞0
当m-1=0时，不等式为（x-1）＞0即{x|x＞1}．
当m-1＞0时，不等式解集为{x|x＞1或x＜

1

1-m

}
当m-1＜0时，不等式解集为{x|1＜x＜

1

1-m

}
综上得：当m=1时解集为{x|x＞1}，当0＜m＜1时解集为{x|1＜x＜

1

1-m

}
当1＜m＜2时，不等式解集为{x|x＞1或x＜

1

1-m

}
（2）x＞1时，原命题化为（m-1）x+1＞0恒成立，∴（m-1）＞

-1

x

，∴m≥1

点评：本题主要考查不等式的解法，注意解集与对应方程根之间的关系，对于恒成立问题，采用分离参数法．