Question

【题目】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c（a＜b＜c）．已知向量 =（a，c）， =（cosC，cosA）满足 = （a+c）．
（1）求证：a+c=2b；
（2）若2csinA﹣ a=0，且c﹣a=8，求△ABC的面积S．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵向量 =（a，c）， =（cosC，cosA）满足 = （a+c）．

∴acosC+ccosA= （a+c），

∴a× +c× = ，

∴2b=a+c

（2）解：∵2csinA﹣ a=0，

∴2sinCsinA﹣ sinA=0，

∵A∈（0，π），

∴sinA≠0，

∴sinC= ，

又a＜b＜c，

∴C为钝角．

∴cosC=

∴c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab，与c﹣a=8，2b=a+c．

联立解得a=6，b=10，c=14．

∴S△ABC= absinC= =15

【解析】（1）利用数量积运算性质、余弦定理即可证明．（2）由2csinA﹣ a=0，利用正弦定理可得2sinCsinA﹣ sinA=0，化为sinC= ，又a＜b＜c，可得C为钝角．cosC= ，利用余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab，与c﹣a=8，2b=a+c联立解出即可得出．
【考点精析】掌握正弦定理的定义和余弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道正弦定理:；余弦定理:;;．