Question

【题目】如图，三棱柱中，侧棱平面， 为等腰直角三角形， ，且， 分别是的中点.

(1)若是的中点，求证： 平面；

(2)若是线段上的任意一点，求直线与平面所成角正弦的最大值.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) 当时， .

【解析】试题分析：

本题考查线面平行的判定和利用空间向量求直线和平面所成的角.（1）先证和，从而得到平面平面，故可得平面.（2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为.设设，且，求得点M的坐标后可得.利用线面角的公式得到所求线面角的正弦值，根据二次函数的最值求解.

试题解析：

(1)连接， ，

∵分别是的中点，

∴，

∴四边形是平行四边形，

所以.

因为分别是的中点，

所以，

又，

所以平面平面，

又平面，

所以平面.

(2)由题意得两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

则， ， ， ，

∴， .

设平面的法向量为，

由，得，

令，得， ，

所以平面的一个法向量为.

设，且，

所以，得， ， ，

所以点，

所以.

设直线与平面所成角为，

则

∴当时， .

所以直线与平面所成角正弦的最大值为.