Question

设函数f(x)=5sin(

k

5

x-

π

3

)(k≠0)．
（1）写出f（x）的最大值M，最小值m，最小正周期T；
（2）试求最小正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f（x）至少有一个值是M和一个值是m．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数的解析式求出其最值，由公式求出最小正周期T；
（2）函数f（x）至少有一个值是M和一个值是m说明函数此时的k值满足函数的周期小于等于1，即T≤1，由此建立关于参数的方程，求出k的取值范围，即可得到其最小值．

解答：解：（1）∵f(x)=5sin(

k

5

x-

π

3

)(k≠0)
∴M=5，m=-5，T=

2π

| k 5 |

=

10π

|k|

；
（2）由题意知，函数f（x）在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，至少有一个值是M和一个值是m，∴T≤1，即

10π

|k|

≤1，∴|k|≥10π＞31.4，∵k∈N^*，∴最小正整数k为32．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，解题的关键是掌握周期公式以及对问题的正确转化如在第二问中对使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f（x）至少有一个值是M和一个值是m理解与转化．正确转化问题对解题很重要．