Question

设函数f(x)=5sin(

π

3

x-

π

6

)，若对任意x∈R，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₁-x₂|的最小值为

3

．

Answer 1

分析：根据题意，x₁、x₂是函数的两个最值点，一个是最小值点且另一个是最大值点．由此可得|x₁-x₂|=

T

2

•（2k-1），（k∈N^*），利用三角函数的周期公式即可算出|x₁-x₂|的最小值．

解答：解：∵对任意x∈R，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，
∴x₁、x₂是函数f(x)=5sin(

π

3

x-

π

6

)的两个最值点，其中一个是最小值点，另一个是最大值点
因此，|x₁-x₂|等于半个周期的正奇数倍
∵函数的周期T=

2π

π 3

=6
∴|x₁-x₂|=3（2k-1），（k∈N^*），取k=1，得|x₁-x₂|的最小值为3．
故答案为：3

点评：本题给出函数f(x)=5sin(

π

3

x-

π

6

)满足的条件，求|x₁-x₂|的最小值．着重考查了三角函数的周期公式、正弦函数的图象与性质等知识，属于基础题．