Question

【题目】设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．

(1)试确定常数a和b的值；

(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1) a＝－，b＝－.(2)见解析.

【解析】

(1)由题，求出f(x)的导函数f′(x)，可知f′(1)＝f′(2)＝0，解出a，b的值即可；

(2)由(1)可知导函数，再判别出x＝1，x＝2左右两边导函数的正负，即可判断出是极大值还是极小值.

(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，

∴f′(x)＝＋2bx＋1.

由极值点的必要条件可知：

f′(1)＝f′(2)＝0，

∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0，

解方程组得，a＝ ，b＝ .

(2)由(1)可知f(x)＝ln xx2＋x，

且函数f(x)＝ln xx2＋x的定义域是(0，＋∞)，

f′(x)＝x－1x＋1＝ .

当x∈(0,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1,2)时，f′(x)＞0；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；

所以，x＝1是函数f(x)的极小值点，

x＝2是函数f(x)的极大值点．