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    【题目】如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面平面，，.

    （1）求二面角的余弦值；

    （2）在线段是否存在点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

    【答案】（1）.（2）存在，值为

    【解析】

    （1）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.

    （2）首先利用求得点的坐标，由求得的值.

    （1）因为为正方形，所以.

    因为平面ABC⊥平面，且垂直于这两个平面的交线，所以平面.由题知，，，所以.如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量为，则，即，

    令，则，，所以.

    同理可得，平面的法向量为，所以.由题知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

    （2）存在.设是直线上一点，且.所以.解得，，.

    所以.

    由，即.解得.

    因为，所以在线段上存在点，

    使得.此时，.

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    （2）求线段的中点的轨迹的方程；

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    (2)若△ABC的面积S＝c2，求sin C的值．

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    （Ⅰ）若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；

    （Ⅱ）求二面角B－PD－A的余弦值．

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    【题目】从、、、这个数中一次随机地取个数，记所取的这个数的和为，则下列说法错误的是（ ）

    A.事件“”的概率为

    B.事件“”的概率为

    C.事件“”与事件“”为互斥事件

    D.事件“”与事件“”互为对立事件

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】称直角坐标系中纵横坐标均为整数的 点为“格点”，称一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的“格点距离”，格点距离为定值的点的轨迹称为“格点圆”，该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路程称为一条半径．当格点半径为2005时，格点圆的半径有________条．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某网红直播平台为确定下一季度的广告投入计划，收集了近6个月广告投入量（单位：万元）和收益（单位：万元）的数据如下表：

    月份

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    广告投入量/万元

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    收益/万元

    14.21

    20.31

    31.8

    31.18

    37.83

    44.67

    用两种模型①，②分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：

    7

    30

    1464.24

    364

    （1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由.

    （2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：

    (i)剔除的异常数据是哪一组？

    (ii)剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程；

    (iii)广告投入量时，(ii)中所得模型收益的预报值是多少？

    附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.

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    【题目】建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为，防洪堤高记为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（）要最小．

    （1）用表示、；

    （2）将表示成的函数，如限制在范围内，最小为多少米？并说明理由．

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