Question

【题目】称直角坐标系中纵横坐标均为整数的 点为“格点”，称一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的“格点距离”，格点距离为定值的点的轨迹称为“格点圆”，该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路程称为一条半径．当格点半径为2005时，格点圆的半径有________条．

Answer 1

【答案】

【解析】

设格点圆上任一点的坐标为．由定义，不管按照什么路线走，其水平方向的最短路程均为个单位（相当于投影到x轴没有出现重叠，否则不是最短路线），其竖直方向的最短路程均为个单位．则．①

可见，格点圆上的点在正方形①上．

易知，时，y有2个取值；

时，x有2个取值；

当时，y有2个取值．

从而，正方形①上有个格点．而每一个格点上的半径数相当于列、行“横行线路图”上从原点到点P的走法数，有．

令，可得半径的条数为

．