Question

【题目】某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:

注:尺寸数据在内的零件为合格品,频率作为概率.

(Ⅰ) 从产品中随机抽取件,合格品的个数为,求的分布列与期望；

(Ⅱ) 从产品中随机抽取件,全是合格品的概率不小于,求的最大值；

(Ⅲ) 为了提高产品合格率,现提出两种不同的改进方案进行试验.若按方案进行试验后,随机抽取件产品,不合格个数的期望是；若按方案试验后,抽取件产品,不合格个数的期望是,你会选择哪个改进方案?

Answer 1

【答案】(Ⅰ)分布列见解析，； (Ⅱ)； (Ⅲ)选择方案.

【解析】

(Ⅰ)先根据直方图求出合格率，然后求出ξ的可能取值和相应的概率，作分布列，再利用随机变量的分布列进行求期望；

(Ⅱ)根据n件产品都合格的概率大于等于0.3，列不等式求解n的最大值；

(Ⅲ)根据期望求出A，B方案不合格的概率，即可选择.

(Ⅰ)由直方图可知,抽出产品为合格品的频率为,即抽出产品为合格品的概率为, 从产品中随机抽取件,合格品的个数的所有可能取值为且 ,,, ,, 所以的分布列为

故数学期望

(Ⅱ) 随机抽取件,全是合格品的概率为,依题意,故的最大值为.

(Ⅲ) 按方案随机抽取产品不合格的概率是,随机抽取件产品,不合格个数；

按方案随机抽取产品不合格的概率是,随机抽取件产品,不合格个数,

依题意,,解得,

因为,所以应选择方案.