Question

设于f(x)=

2x-1

2x+1

，
（1）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（2）求证对任意非零实数x=20∈[10，25]，都有

f(x)

x

＞0．

Answer 1

分析：本题重点考查函数的基本性质及其应用，对于（1）直接根据函数的单调性的定义进行判断和证明即可；（2）则需要利用指数函数的值域问题进行证明．

解答：解：（1）根据题意，可以知道f （x） 在（-∞，+∞）上是增函数．证明如下：
任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=(1-

2

2x1+1

)-(1-

2

2x2+1

)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
（2）根据函数f(x)=

2x-1

2x+1

，结合指数函数的值域，
当x＞0时，有2^x＞1，
∴f（x）＞0，∴

f(x)

x

＞0
?当x＜0时，有0＜2^x＜1，
∴f（x）＜0，∴

f(x)

x

＞0．问题得证．
本题也可由

f(x)

x

为偶函数，因此只需证x＞0，

f(x)

x

即可．

点评：本题重点掌握函数的单调性的概念及其证明问题的一般步骤方法，领悟函数的基本性质的运用