Question

椭圆与双曲线之间有许多类似的性质：
P是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上任一点，焦点F₁、F₂，∠F₁PF₂=α，三角形PF₁F₂面积为b²

sinα

1+cosα

，类比，P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任一点，焦点F₁、F₂，∠F₁PF₂=α，三角形PF₁F₂面积为

b²

sinα

1-cosα

．

Answer 1

分析：类似椭圆的性质，将面积表达式的“+”号改成“-”即得b²

sinα

1-cosα

．设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，根据三角形面积公式可表示出△PF₁F₂的面积，由余弦定理可求得r₁r₂的表达式，进而求得S与b和tanθ的关系式，原式得证．

解答：解：类似椭圆的性质：P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任一点，焦点F₁、F₂，∠F₁PF₂=α，三角形PF₁F₂面积为 b²

sinα

1-cosα

．
证明：设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，
则S=

1

2

r₁r₂sin2θ，又|F₁F₂|=2c，
由余弦定理有
（2c）²=r₁²+r₂²-2r₁r₂cos2θ=（r₁+r₂）²-2r₁r₂-2r₁r₂cos2θ=（2a）²-2r₁r₂（1+cos2θ），
于是2r₁r₂（1+cos2θ）=4a²-4c²=4b²．
所以r₁r₂=

2b2

1+cos2θ

．
这样即有S=

1

2

•

2b2

1+cos2θ

sin2θ=b²

2sinθcosθ

2cos2θ

=b²

sinα

1-cosα

．
故答案为：b²

sinα

1-cosα

．

点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便．如本题，设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，则S=

1

2

r₁r₂sin2θ．若能消去r₁r₂，问题即获解决．