Question

【题目】已知椭圆的离心率为，左、右焦点为，点在椭圆上，且点关于原点对称，直线的斜率的乘积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线经过点，且与椭圆交于不同的两点，若，判断直线的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线的斜率为定值

【解析】

（1）利用斜率乘积为，，可构造出方程组，求解得到和，从而可得椭圆标准方程；（2）联立直线与椭圆方程，可得关于的一元二次方程；利用判别式大于零可求得的取值范围；利用韦达定理表示出和；根据，可得到；利用向量数量积坐标运算，代入韦达定理整理得到，解方程可求得结果.

（1）由题意知：，又，

可得：，，

椭圆的方程为：

（2）设直线的方程为：

将其代入，整理可得：

则，得：

设，

则，

又，且

又，

所以

又，

化简得：，解得：

直线的斜率为定值