Question

如图，平面内的定点F到定直线l的距离为2，定点E满足：||=2且EF⊥l于G，点Q是直线l上一动点，点M满足，点P满足，=0.

(1)建立适当的直角坐标系，求动点P的轨迹方程；

(2)若经过点E的直线l₁与点P的轨迹交于相异两点A、B，令∠AFB=θ，当4π≤θ≤π时，求直线l₁的斜率k的取值范围.

Answer 1

解：(1)以FG的中点为原点，以EF为y轴建立直角坐标系xOy.设P(x，y)，

则F(0，1)、E(0，3),l：y=-1.                                                   

∵,,∴Q(x，-1)，M(，0).

由=0,∴()·x+(-y)(-2)=0,

即所求点P的轨迹方程为x²=4y.                                                

(2)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)(x₁≠x₂)，该直线l的方程为y=kx+3.

由,得x²-4kx-12=0,∴x₁+x₂=4k,x₁·x₂=-12.

∴y₁·y₂==9,y₁+y₂=k(x₁+x₂)+6=4k²+6,

∵=(x₁,y₁-1),=(x₂,y₂-1),

∴·=x₁x₂+y₁y₂-(y₁+y₂)+1=-4k²-8.

而||·||=(y₁+1)(y₂+1)=y₁·y₂+(y₁+y₂)+1=4k²+16,

∴cosθ=,

∵≤θ≤π,-1≤cosθ≤,

即-1≤,∴k²≥.

解得k≥或k≤.

∴直线l₁的斜率k≥或k≤.