Question

【题目】设是数列的前项和， .

（1）求证：数列是等差数列，并求的通项；

（2）设，求数列的前项和.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析， ；（2）.

【解析】试题分析：当数列提供与、之间的递推关系时，要数列是等差数列，只需利用，转化为、之间的关系，证明某数列是等差数列，就是证明第n+1项与第n项的比是一个常数，这个分析给证明提供一个暗示，有了证明的目标，从递推关系式向着这个目标进行等价变形，就可得出所要证明的式子，达到证明的目的；已知数列的前n项和，求通项公式分两步，第一步n=1 时，求出首项，第二步，当时利用前n项和与前n-1项和作差求出第n项，若首项满足后者，则可书写统一的通项公式，若首项不满足，则通项公式要写成分段函数形式，有关数列求和问题，主要方法有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、公式法等，要根据数列通项的形式特点采用相应的方法求和.

试题解析：

（1），∴，

即， ，

∴数列是等差数列．

由上知数列是以2为公差的等差数列，首项为，

∴，∴．

∴．

（或由得）,

由题知， ,

综上， .

（2）由（1）知 ，

∴，

∴．