Question

【题目】已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按， 进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若， 至多有一个零点.若，当时， 取得最小值，求出最小值，根据， ， 进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.

试题解析：（1）的定义域为， ，

（ⅰ）若，则，所以在单调递减.

（ⅱ）若，则由得.

当时， ；当时， ，所以在单调递减，在单调递增.

（2）（ⅰ）若，由（1）知， 至多有一个零点.

（ⅱ）若，由（1）知，当时， 取得最小值，最小值为.

①当时，由于，故只有一个零点；

②当时，由于，即，故没有零点；

③当时， ，即.

又，故在有一个零点.

设正整数满足，则.

由于，因此在有一个零点.

综上， 的取值范围为.

点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.