Question

【题目】已知为数列的前n项和，，当n≥2时，，又．

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列落在区间内的项数为，求数列的前n项和．

Answer 1

【答案】(1) an=n;(2)（n﹣1）2n+1.

【解析】

（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．

（1）已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，当n≥2时，an﹣1=2an﹣an+1，

即：2an=an﹣1+an+1，

所以数列{an}为等差数列．

又=，

解得：an=n．

（2）数列{an}落在区间内的项数为bk，

所以：第一项为2k﹣1，最后一项为2k﹣1，

所以，

则：，

所以（n﹣1）2n﹣2+n2n﹣1，①

（n﹣1）2n﹣1+n2n②，

①﹣②得：

﹣Tn=（10+21+22+…+2n）﹣n2n，

整理得：，

=（n﹣1）2n+1．