Question

【题目】如图，已知△的内角、、的对边分别为、、，其中，且，延长线段到点，使得，.

（1）求证：是直角；

（2）求的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据正弦定理以及二倍角公式即可证明，

（2）如图所示：过点C作CE⊥AC，根据平行线分线段成比例定理，设CE＝x，则AB＝5x，ADx，再根据勾股定理可得x的值，再由正弦定理，sinD，再根据同角的三角函数的关系即可求出答案．

1）由正弦定理可得sinBcosB＝sinCcosC，

即sin2B＝sin2C，

∵b≠c，

∴2B+2C＝180°，

∴B+C＝90°，

∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°，

（2）如图所示：过点C作CE⊥AC，

∵BC＝4，BC＝4CD，

∴CD＝1，BD＝5，

∵∠BAC＝90°，

∴CE∥AB，

∴，

设CE＝x，则AB＝5x，

∵∠CAD＝30°，

∴AE＝2x，ACx，

∴，

∴DEx，

∵AB2+AC2＝BC2，

∴25x2+3x2＝16，

解得x，

在△CED中，∠CED＝120°，CE，CD＝1，

由正弦定理可得，

即sinD，

cosD，

∴tanD．