Question

【题目】已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点.

（1）若过点，抛物线在点处的切线与在点处的切线交于点.证明：点在定直线上.

（2）若，点在曲线上，的中点均在抛物线上，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

(1) 设，,设直线的方程为，与抛物线方程联立可得，求出抛物线在点处的切线方程，和在点处的切线方程，联立可得答案.
(2) 设，的中点分别为，,可得，，轴，，

，的面积，从而可求出三角形的面积的范围.

（1）证明：易知，设，.

由题意可知直线的斜率存在，故设其方程为.

由，得，所以.

由，得，，则，

直线的方程为，即，①

同理可得直线的方程为，②

联立①②，可得.

因为，所以，故点在定直线上.

（2）解：设，的中点分别为，.

因为得中点均在抛物线上，所以为方程的解，

即方程的两个不同的实根，

则，，，

即，

所以的中点的横坐标为，则轴.

则

，

，

所以的面积.

由，得，

所以，

因为，所以，

所以面积的取值范围为.