Question

【题目】函数在点处的切线方程为.

（Ⅰ）求实数，的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ），成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）函数的减区间是，增区间是；（3）的取值范围是．.

【解析】试题分析：(Ⅰ)求得， 分别令，，即可求得的值；

(Ⅱ)由(Ⅰ)得和，由于在区间上为增函数，且，进而得到函数的单调区间；

(Ⅲ)构造函数，由成立，等价于，再由(Ⅱ)知当时，，即（当且仅当时取等号），即可求解实数的取值范围．

试题解析：

(Ⅰ)，

依题意得，，则有

．

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，

由于在区间上为增函数，且，

则当时，；当时，，

故函数的减区间是，增区间是．

(Ⅲ) 因为，

于是构造函数，

，成立，等价于，

由(Ⅱ)知当时，，即对恒成立．

即（当且仅当时取等号）

所以函数，又时，，

所以．故的取值范围是．