Question

【题目】试求出最小的正整数，使得同时满足：

（1）（对表示不大于的最大整数）；

（2）被190除所得的余数为11.

Answer 1

【答案】

【解析】

由条件（1）可知.

否则，若，则有，这与条件（1）矛盾.故必有.

令（为正整数）代入条件（1）中的不等式得

，

即. ①

由于为严格递增函数，而满足式①，不满足式①，

所以，式①的解为.从而条件（1）中不等式的解为.

又因99与190互质，所以，由欧拉定理得，

即. ②

引理：若，是正整数，而是最小的正整数，使得，则必有.

引理的证明：显然（由的最小性）.

记（，，且）.

由及，得，

即.

再由为正整数且为最小者及，知只有.于是，有，即.

回到原题.

由式②及引理知.所以，.

下面求的值.

注意到，，

，，

，，

，，

所以，.

现有，而，且99与190互质，所以有.

由及上述引理，得，即.

再由，得.于是，，.

故所求的最小正整数.