Question

【题目】已知椭圆,，过椭圆的右顶点和上顶点的直线与圆相切.

（1）求椭圆的方程;

（2）设是椭圆的上顶点, 过点分别作直线交椭圆于两点, 设这两条直线的斜率分别为,且,证明: 直线 过定点

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）根据两点式可得直线的方程为,再根据切线与圆位置关系得，解得（2）直线过定点问题，一般通过解直线方程，根据直线方程特征求定点：先考虑直线斜率存在的情形，，即将问题转化为确定的关系，而，可利用点的坐标进行转化即，再根据直线方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理代入化简得，最后根据点斜式或方程恒成立理论求定点，直线斜率不存在的情形可代入验证

试题解析：（1）直线过点和直线的方程为,直线与圆相切,, 解得椭圆的方程为.

（2）当直线的斜率不存在时, 设,则,由得,

得.当直线的斜率存在时, 设的方程,,

,得

,

即,

由,即,

故直线过定点.