抛物线
在点
，
处的切线垂直相交于点
，直线
与椭圆
相交于
，
两点．
（1）求抛物线
的焦点
与椭圆
的左焦点
的距离；
（2）设点到直线的距离为
，试问：是否存在直线，使得
，，
成等比数列？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．
（1）
;（2）不存在.
解析试题分析：（1）分别求出抛物线与椭圆的焦点，利用两点间距离公式求解；（2）设直线
与抛物线相交于
与椭圆相交于
,
,所以直线与抛物线方程联立，得到
和
然后利用
,求出切线
，
的斜率，利用切线垂直，
,解出m,然后分别设出过
点的切线方程，求出交点
的坐标，利用点到直线的距离公式求,直线与曲线相交的弦长公式求
,若
，，
成等比数列，则
,化简等式，通过
看方程实根情况.
试题解析：（I）抛物线
的焦点
， 1分
椭圆
的左焦点
， 2分
则
． 3分
（II）设直线，
，
，
，
，
由
，得
， 4分
故
，
．
由
，得
，
故切线，的斜率分别为
，
，
再由
，得
，
即
，
故
，这说明直线
过抛物线的焦点
． 7分
由
，得
，
,即
． 8分
于是点到直线
的距离
. 9分
由
，得
， 10分
从而
， 11分
同理，
． 12分
若，，成等比数列，则， 13分
即
，
化简整理，得
，此方程无实根，
所以不存在直线，使得，，
应用题作业本系列答案
暑假作业暑假快乐练西安出版社系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知△
的两个顶点
的坐标分别是
，
，且
所在直线的斜率之积等于
．
（1）求顶点
的轨迹
的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；
（2）当
时，过点
的直线
交曲线
于
两点，设点
关于
轴的对称点为
(
不重合)， 试问：直线
与
轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图,
是椭圆
的左、右顶点,椭圆
的离心率为
,右准线
的方程为
.
（1）求椭圆方程；
（2）设
是椭圆上异于的一点,直线
交于点
,以
为直径的圆记为
. ①若恰好是椭圆的上顶点,求
截直线
所得的弦长；
②设与直线
交于点
,试证明:直线
与
轴的交点
为定点,并求该定点的坐标.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知动直线
与椭圆
交于
、
两不同点，且△
的面积
=
，其中
为坐标原点.
（1）证明
和
均为定值；
（2）设线段
的中点为
，求
的最大值；
（3）椭圆
上是否存在点
，使得
？若存在，判断△
的形状；若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（1）已知点
和
，过点
的直线
与过点
的直线
相交于点
，设直线的斜率为
，直线的斜率为
，如果
，求点的轨迹；
（2）用正弦定理证明三角形外角平分线定理：如果在
中，
的外角平分线
与边
的延长线相交于点
，则
.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，椭圆上的点
满足
，且
的面积
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）是否存在直线
，使与椭圆交于不同的两点
、
，且线段
恰被直线
平分？若存在，求出的斜率取值范围；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知圆
过定点
，圆心在抛物线
上，
、
为圆与
轴的交点．
（1）当圆心是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长．
（2）当圆心在抛物线上运动时，
是否为一定值？请证明你的结论．
（3）当圆心在抛物线上运动时，记
，
，求
的最大值，并求出此时圆的方程．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设F1，F2分别是椭圆E：x2＋
＝1(0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求|AB|；
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
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的椭圆
一个焦点为
.
的方程；
交椭圆
两点,且
，求直线