Question

（本题满分15分）

已知函数，是的导函数（为自然对数的底数）

（Ⅰ）解关于的不等式：；

（Ⅱ）若有两个极值点，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）当时，无解；当时，解集为；当时，解集为 ；（Ⅱ）。

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）          …………………………2分

                           …………………………4分

当时，无解；                                    …………………………5分

当时，解集为；                  …………………………6分

当时，解集为                      …………………………7分

（Ⅱ）方法一：若有两个极值点，则是方程的两个根

，显然,得：        ……………………………9分

令，                       …………………………11分

若时，单调递减且，                 …………………………12分

若时，当时，，在上递减，

当时，，在上递增,……14分

要使有两个极值点，需满足在上有两个不同解，

得:，即：                               ……………………15分

法二：设， 

则是方程的两个根，则，    …………………………9分

若时，恒成立，单调递减，方程不可能有两个根……11分

若时，由，得，

当时，，单调递增，

当时，  单调递减      …………………………13分

，得       …………………………15分

考点：一元二次含参不等式的解法。利用导数研究函数的单调性和极值。

点评：（1）解一元二次含参不等式的主要思想是分类讨论，常讨论的有二次项系数、两根的大小和判别式?；（2）第二问方法一的关键是把问题转化为“有两个不同解”，根据构造函数来求。