Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）若函数在内有极值，求实数的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对任意，，求证：．

Answer 1

【答案】（I）；（II）证明见解析.

【解析】试题分析：

（I）求得导数，题意说明在上有实根且在根的两侧异号，由知有两个不等实根，且一根在上，于是另一根在上，由根的分布知识可得．

（II）由（I）的讨论知的最大值为，的最小值是，因此只要证即可，化简，为此只要求出函数在上的最小值，利用导数的知识可求解．

试题解析：

（Ⅰ）由定义域为

设，要使在上有极值，

则有两个不同的实根，

∴∴或,①

而且一根在区间上，不妨设，

又因为，∴，

又，

∴.只需，即，∴,②

联立①②可得：.

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当，，∴单调递减，

时，，单调递增,

∴在上有最小值,

即，都有,

又当，∴单调递增，当，，

∴单调递减，

∴在上有最大值即对，都有

又∵，，，，

∴

,

设 ，

∴，

∴在上单调递增，∴,

∴.