Question

【题目】如图所示的几何体中，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，为的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的大小；

（3）设为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根据题意，得出，，根据线面垂直的判定定理得出平面，则，建立以为原点，，，为，，轴的空间直角坐标系，利用向量法能证明；

（2）求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量法能求出二面角的大小；

（3）设，，，求出，，，令，则，解得为的中点，利用向量法能求出线段的长．

解：依题意得，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，

则，，

所以面，

又，可以建立以为原点，

分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），

可得，，，，，，，

（1）证明：由题意，，，

因为，所以.

（2）解：，，

设为平面的法向量，则

，即，

不妨令，可得，

平面的一个法向量，

因此有，

由图可得二面角为锐二面角，

所以二面角的大小为.

（3）解：（方法一）设，，

所以，因此，

令，即，

解得，即为的中点，

因为平面，平面，，

所以当为的中点时，平面平面，

此时即，

，

所以线段的长为.

（方法二）设，，

所以，因此，

设为平面的法向量，

则，即，

不妨令，可得，

因为平面平面，所以，

解得：，

此时即，，

所以线段的长为.