Question

【题目】若函数满足“存在正数，使得对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在，使成立”，则称该函数为“依附函数”．

（1）分别判断函数①，②是否为“依附函数”，并说明理由；

（2）若函数的值域为，求证：“是‘依附函数’”的充要条件是“”．

Answer 1

【答案】（1）①是，②不是；理由详见解析（2）详见解析．

【解析】

（1）①可取，说明函数是“依附函数”； ②对于任意正数，取，此时关于的方程无解，说明不是“依附函数”；

（2）先证明必要性，再证明充分性，即得证.

（1）①可取，则对任意，存在，使得成立，

（说明：可取任意正数，则）

∴是“依附函数”，

②对于任意正数，取，则，

此时关于的方程无解，∴不是“依附函数”．

（2）必要性：（反证法）假设，

∵的值域为，∴存在定义域内的，使得，

∴对任意正数，关于的方程无解，

即不是依附函数，矛盾，

充分性：假设，取，

则对定义域内的每一个值，由，可得，

而的值域为，

∴存在定义域内的，使得，即成立，

∴是“依附函数”．