Question

已知f（x）=ln（x+1）-ax．（a∈R）
（1）求y=f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，求f（x）在定义域上的最大值；
（3）求证：

12+1+1

12+1

•

22+2+1

22+2

•

33+3+1

32+3

…

n2+n+1

n2+n

＜e．

Answer 1

分析：解：（1）先确定定义域，再用导数法求单调区间；要注意a的讨论，
（2）当a=1时，f（x）=ln（x+1）-x，由（1）可知f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，从而求得其最大值．
（3）对

12+1+1

12+1

•

22+2+1

22+2

•

33+3+1

32+3

…

n2+n+1

n2+n

＜e两边取对数，将问题转化为证明ln

12+1+1

12+1

+ln

22+2+1

22+2

+ln

32+3+1

32+3

++ln

n2+n+1

n2+n

＜1，由（x）=ln（x+1）-x≤0得证．

解答：解：（Ⅰ）定义域为{x|x＞-1}，f′(x)=

1

x+1

-a（1分）
①当a=0时，∵f′(x)=

1

x+1

＞0，
∴f（x）的单调递增区间为（-1，+∞）（2分）
②当a＜0时，
∵f′(x)=

1

x+1

-a＞0
∴f（x）的单调递增区间为（-1，+∞）（3分）
③当a＞0时，由f′（x）＞0，则x＜

1

a

-1，
所以f（x）的单调递增区间为(-1，

1-a

a

)，
由f′（x）＜0，则x＞

1

a

-1，
所以f（x）的单调递减区间为(

1-a

a

，+∞)（4分）
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=ln（x+1）-x，
由（Ⅰ）可知f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
所以（5分）
由表可知f（x）的最大值为f（0）=0（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知f（x）=ln（x+1）-x≤0（*）
两边取对数可知ln

12+1+1

12+1

•

22+2+1

22+2

•

32+3+1

32+3

n2+n+1

n2+n

＜1
即证ln

12+1+1

12+1

+ln

22+2+1

22+2

+ln

32+3+1

32+3

++ln

n2+n+1

n2+n

＜1
又ln

k2+k+1

k2+k

=ln(1+

1

k2+k

)由（*）式可知当x≠0时，ln（1+x）＜x（9分）
∴ln(1+

1

k2+k

)＜

1

k2+k

=

1

k(k+1)

=

1

k

-

1

k+1

∴ln(

12+1+1

12+1

)+ln(

22+2+1

22+2

)+ln(

32+3+1

32+3

)++ln

n2+n+1

n2+n

＜

1

12+1

+

1

22+2

+

1

32+3

++

1

n2+n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1（12分）
∴原不等式得证

点评：本题主要考查导数法求单调区间，求函数最值，同时提醒学生在综合题中已证结论可以用到下一问题去解决问题．