Question

【题目】如图，在三棱锥中，平面平面，，，若为的中点.

（1）证明：平面；

（2）求异面直线和所成角；

（3）设线段上有一点，当与平面所成角的正弦值为时，求的长.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)(3).

【解析】

（1）先证明平面平面，再证明平面；（2）分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线和所成角；（3）设，，利用向量法得到，解方程即得t的值和的长.

（1）∵，，

∴，

∵平面平面，

平面平面，

平面，

∴平面.

（2）∵，，

∴，，

如图，分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系,

∵，，，，

∴，，

∵，

∴异面直线和所成角为.

（3）设为平面的法向量，

∵，，

∴，即，

设，，

∴，

设与平面所成角为，

∵，

∴，

，

，

，

（舍），，

∴的长为.