Question

（本题满分14分）

已知椭圆经过点（0，），离心率为，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值，否则，说明理由；

（3）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）易知因为

∴椭圆C的方程…………………………3分

（2）易知直线l的斜率存在，设直线l方程且l与y轴交于设直线l交椭圆于

由得

……………………………………6分

又由

，同理…………………………………………8分

所以当直线l的倾斜角变化时，的值为定值-；…………………………10分

（3）当直线l斜率不存在时，直线轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点N（，0），

猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点N（，0）……………………11分

证明：由（2）知

当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点N（，0），

∶

当时，

=

=点N（，0），在直线l_AE上,同理可证，点N（，0）

也在直线l_BD上；∴当m变化时，AE与BD相交于定点（，0）…………14分